Un altro modo di caratterizzare un frattale è quello di definirne la
dimensione. Tutto ciò ha una grande importanza nello studio dei mercati finanziari, anche perché è finalmente possibile calcolare il grado di irregolarità di un grafico ovvero stabilire la sua dimensione frattale.

Anzitutto dobbiamo come sempre porre le basi per una maggiore comprensione di questa metodologia così ostica ma affascinante.

Il concetto di dimensione di un oggetto è abbastanza familiare. Ad esempio un segmento ha dimensione 1, un quadrato ha dimensione 2 ed un cubo ha dimensione 3.

Se dividiamo un segmento in n parti uguali, rimpicciolito di un fattore K=1/n, ne consegue, mediante formula inversa, che n*K=1.

Il quadrato possiamo dividerlo in n=4 parti dove il lato di ognuna di esse è rimpicciolita di un fattore K=1/2. Quindi avremo n*K^2=1.

La stessa cosa si può ripetere per una figura tridimensionale: avremo
n*K^3=1.

Come possiamo notare l’esponente di K rileva la dimensione.

Ma qual è la dimensione di un oggetto, o meglio di un grafico finanziario, frattale?

Possiamo dimostrarlo in modo logico!

Se il mercato salisse o scendesse ininterrottamente (ovviamente in un mondo ideale) senza mai correggere il suo andamento, sarebbe una linea retta “senza sbavature”, ovvero a dimensione unitaria. Viceversa, se il mercato alternasse un giorno di salita a un giorno di pari discesa (sempre nel nostro mondo ideale), i segmenti di retta “riempirebbero” una superficie, ovvero avrebbero per approssimazione dimensione quadratica
come sotto riportato:

La dimensione frattale è come la virtù: sta nel centro!

Avrete sicuramente intuito che tale dimensione oscilla tra 1 e 2, in
quanto il mercato sale o scende in modo “frastagliato” come si evidenzia nel grafico:

Tanto più sarà irregolare l’andamento tanto più possiamo asserire che la sua dimensione si avvicina a 2.

Se l’andamento sarà perfettamente rettilineo, la sua dimensione sarà uguale a 1.

Senza entrare nei dettagli tecnici, possiamo semplicemente calcolare la dimensione frattale di un’attività finanziaria mediante la seguente formula:

DIMENSIONE FRATTALE = 2-H

Dove H è l’esponente di Hurst.

Nel prossimo articolo vedremo come risolvere il problema dell’irregolarità di un diagramma finanziario rifacendoci all’analisi tecnica.