Chi desidera investire in borsa i propri risparmi oppure, più in generale,
chi intende mettere alla prova le proprie capacità di investitore,
dovrebbe farsi un esame di coscienza per valutare se possiede “basi” tali
da evitare cocenti delusioni.

La conoscenza superficiale dei vari argomenti giudicati fondamentali
pregiudicano una responsabile attività nel campo economico, con
conseguenze quanto meno imbarazzanti.

Prima di compiere una qualsiasi attività economica – sia essa
l’accensione di un mutuo, l’acquisto rateale di un’auto o la decisione di
affittare un immobile – sarebbe opportuno svolgere una serie di test
per valutare la propria capacità di rispondere rapidamente, ma soprattutto
con la precisione che le circostanze richiedono, a quesiti matematici che
sono alla base di qualunque impostazione economica.

Percentuali

Pochi si soffermano a riflettere sulle implicazioni dirette e indirette
generate dall’uso proprio (ma anche improprio) delle percentuali. Volete
mettere alla prova i vostri amici? Bene: provate con questa serie di tre
indovinelli…

Indovinello n. 1. Se in un cestino metto dieci monete da un euro e
ne tolgo tre, quante monete rimangono? Sette, che diamine! E se
rimetto i tre euro, quanti ne avrò in totale nel piatto? Ovviamente
10 è la risposta che ottenete. Ignorate il fatto che alcuni sembrano
offendersi per la banalità del quesito e passate al secondo quiz.

Indovinello n. 2. Se moltiplico 10 x 5 che risultato ottengo?
50! E se 50 viene diviso per 5? Nuovamente 10! Non badate ai
mugugni dei vostri amici, ma continuate con l’ultimo quesito.

Indovinello n. 3. Se aggiungo il 10% a 100 che valore ottengo?
110! E se da questo 110 tolgo il 10% che valore ottengo? La maggior
parte esclamerà convinta: 100. A questo punto avete il diritto di
fare una sonora risata, spegnendo sul nascere il sorriso di sufficienza di
chi ha risposto, e fornirete la risposta corretta: 99.

Cercate di non essere scortesi quando spiegherete che il 10% di 110 vale
11, valore che sottratto da 110 fornisce come risultato, appunto, 99 e non
100.

Di solito cadono nel tranello una gran quantità di persone, che potrete
consolare affermando che l’indovinello è basato, psicologicamente, sulla
mancanza di riflessione da parte di più persone quando partecipano a un
quiz ove “vince” chi risponde per primo. Per carità, nessuno voleva
mettere in dubbio la loro arguzia matematica (però…).

Definizioni

Saper gestire correttamente i calcoli percentuali rappresenta il
principale strumento di calcolo per valutare, con una rapidità ed
efficacia, l’andamento o il valore di un determinato importo. Nonostante
siano ben note, a chi legge queste pagine, le regole matematiche che sono
alla base del calcolo percentuale, faremo riferimento a un compendio
generale di definizioni e formule che vedremo poi di applicare, in futuro,
con gli spreadsheet di Excel.

Per chiarire la simbologia adottata in questo corso, prenderemo ad esempio
un problema banalissimo: Se presto 200 euro al 5% che cifra riscuoterò
fra un anno?

Qi: Quantità Iniziale. Con tale termine indicheremo, appunto, il
valore “iniziale”, tradizionalmente considerato nei problemi più semplici che richiedono il calcolo percentuale; nel caso dell’esempio citato Qi = 200.

P: Percentuale. Rappresenta l’indice percentuale considerato.
Nell’esempio specifico vale 5, ma è opportuno fare fin da subito una
precisazione. La percentuale applicata in problemi che richiedono il
trascorrere del tempo dovrebbe essere rapportata al periodo stesso. Di solito, nel caso di mutui o rate, il periodo preso in considerazione è l’anno solare, ma non sempre. In casi particolari potrebbe essere preso
come riferimento un periodo di durata inferiore (trimestre, semestre) o
superiore (biennio, triennio). Ovvio che i risultati concreti cambiano in
modo sensibile, come appunto vedremo nei casi dei vari problemi che
esporremo nelle prossime lezioni del corso.

Qp: Quantità percentuale. Rappresenta il calcolo percentuale, in
altre parole:

Qp = (Qi * P ) / 100 = (200 * 5) / 100 = 10

Nei testi di matematica tale quantità viene spesso indicata con altri
termini e simboli, ma l’importante è intendersi. Ciò che ora si vuole
mettere in evidenza è la caratteristica di linearità della
grandezza. In parole molto semplici, significa che se conosciamo la
quantità iniziale Qi e la percentuale P, la grandezza
Qp non è autonoma, ma deriva da un calcolo matematico che lega
Qi e P secondo lo schema di calcolo indicato. Quando, come
in questo caso, una grandezza dipende da altre grandezze, prende il nome
di variabile dipendente. Qi e P, invece, sono
variabili indipendenti. Anche se è superfluo dirlo, l’aggettivo
“indipendente” non significa che si possono inventare valori a casaccio,
ma semplicemente che la soluzione di un problema – come quello
citato all’inizio – non può essere individuata se non si conoscono
alcuni dati. A seconda delle circostanze, poi, una variabile che prima
risultava dipendente può diventare indipendente; e viceversa. Anche in
questo caso occorre avere una certa elasticità mentale per evitare di
impantanarsi in questioni puramente linguistiche.

Qf. Quantità finale. È la somma di Qi e Qp, che nel caso
particolare vale:

Qf = Qi + Qp = 200 + 10 = 210

Anche Qf, come intuitivo, è una variabile dipendente in quanto deriva dal
coinvolgimento di un dato di partenza (Qi) sommato a un dato intermedio
(Qp) a sua volta derivato da entrambi i dati di partenza (Qi e P).

Riflettiamo

L’esempio di prima, a dispetto della sua banalità, è decisamente
istruttivo per una serie di motivi. Anzitutto abbiamo chiarito la
differenza tra variabile dipendente e indipendente; poi abbiamo “scoperto”
che, partendo da due soli dati, ne possiamo ricavare altri due,
altrettanto significativi. Infine abbiamo accennato al fattore tempo, che
anche se non esplicitamente presente come parametro numerico, deve essere
almeno sottinteso (un anno, un semestre, una settimana, eccetera).

Tutti i problemi del mondo

La tipologia di problemi che è possibile risolvere con il calcolo
percentuale può essere schematizzata nella tabella di figura, realizzata
con Excel.

Come già detto, le variabili in gioco sembrano essere quattro (Qi, P, Qp,
Qf) ma in realtà sono due (Qi, P) in quanto le altre due (Qp e Qf) sono
dipendenti (ma si può anche dire combinazioni lineari) delle prime.
Nonostante ciò, supponendo che siano realmente quattro, possiamo creare lo
schema di figura in cui la presenza di un asterisco (*) indica la
disponibilità del termine noto; la presenza di un punto di domanda (?), al
contrario, indica un valore da determinare con calcoli più o meno
complessi. Come si può notare, lo schema è stato costruito inserendo
dapprima due asterischi affiancati nella prima riga (celle B2 e C2); nella
riga successiva, lasciando al suo posto il primo asterisco (cella B3) è
stato spostato a destra il secondo asterisco (da C2 a D3) e nella terza
ancora a destra (cella E4). Nella terz’ultima riga l’asterisco che finora
era rimasto in corrispondenza della colonna B è stato spostato a destra
(cella C5) ripetendo gli spostamenti fino all’ultima riga. In definitiva,
con tale metodologia si ha la certezza di aver individuato tutte le
combinazioni possibili, partendo dal presupposto di conoscere due soli
dati e di voler determinare i due rimanenti.

Per semplificare le cose, gireremo sempre sugli stessi dati, in parte per
non complicare i ragionamenti, in parte per compiere rapidamente una
verifica sul campo.

Problema 1

La schematizzazione della riga Prob. 1 rappresenta l’esempio più
semplice che è possibile immaginare trattando di percentuali, tant’è vero
che è proprio quello accennato all’inizio. Ecco un esempio tipico:

Decido di depositare in banca una quantità iniziale pari a 2000 euro
(Qi=2000). La banca mi assicura un interesse del 3 percento (P=3) annuo.
Di quanto aumenterà il capitale dopo un anno?

Qp = (Qi * P) / 100 = (2000 * 3) / 100 = 60

Quale sarà l’ammontare totale dopo un anno?

Qf = Qi + Qp = 2000 + 60 = 2060

Problema 2

Nella riga Prob. 2 è possibile individuare una tipologia di
problemi la cui schematizzazione è la seguente:

All’inizio dell’anno ho depositato in banca 2000 euro (Qi=2000); dopo
un anno ritrovo un accredito, dovuto agli interessi maturati, di 60 euro
(Qp=60). Qual è la cifra totale di cui dispongo dopo un anno?

Qf = Qi + Qp = 2000 + 60 = 2060

Che interesse ha applicato la Banca?

Per rispondere a quest’ultima domanda è necessario un piccolo sacrificio
matematico: la formula inversa. Partendo dal presupposto che…

Qp = (Qi * P) / 100

…evidentemente si ha che…

P = (100 * Qp) / Qi = (100 * 60) / 2000 = 3

Problema 3

Come ora vedremo, la tipologia dei problemi schematizzati nella riga
Prob. 3 ricade, nella parte finale, in quella descritta in Prob. 2.

All’inizo dell’anno ho depositato in banca 2000 euro (Qi) e, dopo un
anno, l’estratto conto mi indica un importo disponibile (Qf) di 2060 euro.
Quale è stato l’incremento?

Qp = Qf – Qi = 2060 – 2000 = 60

Quale percentuale di interesse è stata applicata?

P = (100 * Qp) / Qi = (100 * 60) / 2000 = 3

Problema 4

Anche la riga Prob. 4 racchiude una tipologia che riporta a
considerare una procedura molto simile a quella descritta in Prob. 2.

Il sig. Rossi ha depositato in banca una somma, di cui però non ricorda
l’esatto importo. Ricorda solo che gli era stato promesso il 3% (cioè P=3)
e che dopo un anno si ritrova un incremento di 60 euro (Qp=60). Quale era
il deposito iniziale (Qi) e quello finale(Qf)? Dal momento che…

Qp = (Qi * P) / 100

…evidentemente si ha che…

Qi = (Qp * 100) / P = (60 * 100) / 3 = 2000

A questo punto è possibile calcolare l’ultimo dato mancante:

Qf = Qi + Qp = 2000 + 60 = 2060

Problema 5

La tipologia della riga Prob. 5 è la più complessa di tutte e cercheremo
di affrontarla spendendo qualche parola in più.

Dopo un anno ritiro dalla banca un importo (Qf) di 2060 euro. Sapendo
che la percentuale applicata nel corso dell’anno è stata P=3%, quale era
la quantità depositata in banca all’inizio dell’anno? Quale è stato
l’incremento?.

Prima di affrontare la soluzione del problema è opportuno riflettere sul
fatto che si può pervenire al medesimo risultato per strade diverse.
Tornando alla tipologia dei problemi Prob. 1, la formula usata era:

Qf = Qi + (Qi * P / 100)

Mettendo in evidenza Qi, la formula può essere scritta in altro modo:

Qf = Qi * (1 + (P/100))

È quindi possibile ricavare Qi con la formula inversa:

Qi = Qf / (1 + (P/100))

Che nel caso del problema specifico diventa:

Qi = 2060 / (1 + (3/100)) = 2060/1.03 = 2000

La seconda domanda del problema (“Quale è stato l’incremento?”) è
decisamente banale:

Qp = Qf – Qi = 2060 – 2000 = 60

Problema 6

L’ultima riga, Prob. 6, costituisce una tipologia di problemi che richiama
anch’essa un calcolo già studiato nel Prob. 2 e che può essere
rappresentata dal seguente esempio:

Dopo un anno la banca mi consegna (Qf) 2060 euro. Sapendo che il
capitale è aumentato (Qp) di 60 euro, quale era l’importo depositato in
banca all’inizio dell’anno?

Qi = Qf – Qp = 2060 – 60 = 2000

Quale è stato il tasso di interesse applicato?

P = Qp / Qi = (100*60) / 2000 = 3

Nelle prossime lezioni torneremo abbondantemente sui calcoli percentuali.
La schematizzazione e la simbologia descritta verranno ovviamente
mantenute.