- Alessandro De Simone

In questa lezione affronteremo lo studio del cosiddetto Break Even Point (letteralmente, "Punto di pareggio") nei suoi principali aspetti. In particolare, risponderemo alle seguenti domande:

• Che cos'è il BEP?
• Quali sono i casi più frequenti in cui trova valida applicazione?
• Quali sono le formule matematiche che determinano il BEP?
• Come si può implementare la procedura su Excel?
• Come si può visualizzare graficamente un BEP?

Anticipiamo fin da ora che una delle applicazioni pratiche del BEP riguarda la determinazione del numero minimo di azioni da vendere per recuperare le spese del servizio che caratterizzano la transazione. La prossima lezione è quindi destinata ad esaminare le problematiche relative a tale argomento.

Definizione

Il punto di pareggio è un particolare valore che rende identico un certo risultato partendo da due procedure differenti. Un esempio concreto favorirà, come al solito, la comprensione di quanto affermato.

Supponiamo di voler rifornire la nostra cantina del vino che acquistiamo abitualmente dal supermercato sotto casa. Si tratta di una qualità di vino, imbottigliato in contenitori da 0,75 litri, che normalmente paghiamo 3,5 euro la bottiglia. Su un depliant che troviamo nella nostra cassetta della posta veniamo però a sapere che un nuovo centro commerciale – distante alcuni chilometri da casa nostra – offre il medesimo vino a 3,2 euro la bottiglia.

Domanda: quante bottiglie dobbiamo comprare affinché la spesa risulti identica acquistando, indifferentemente, il medesimo numero di bottiglie presso il supermercato sotto casa o quello che ci costringe a usare l'automobile?

Risposta: anzitutto c'è da sottolineare, nonostante sembri ovvio, che il problema ha senso se le bottiglie in offerta speciale sono caratterizzate da un prezzo inferiore rispetto a quello abituale: sarebbe paradossale se dovessimo usare l'auto per comprare lo stesso vino a un prezzo superiore! Ciò premesso, il ragionamento matematico è chiaramente riportato nella figura 1, che commentiamo qui di seguito. Prima di proseguire, ricordiamo che i più pigri possono scaricare lo spreadsheet relativo, in formato Excel, cliccando qui.

Figura 1

Pur non conoscendo il numero n di bottiglie da acquistare (è infatti la cosiddetta "incognita" del problema), risulta evidente che il costo risulta identico equiparando i due acquisti:

n * Pa = n * Pb + Cb

…in cui n è il numero incognito delle bottiglie da acquistare, Pa è il prezzo unitario del vino presso il negozio A, Pb è il prezzo unitario del vino presso il negozio B, Cb è il costo della benzina (ed eventuali altre spese) necessaria per recarsi in auto presso il negozio B.

Con semplici passaggi matematici, del resto presenti nello spreadsheet di figura 1, si ottiene la formula risolutiva…

n = Cb / (Pa – Pb)

…che nel caso del problema specifico vale 9. Ciò significa che, acquistando nove bottiglie, spenderemo la medesima cifra sia presso il negozio A sia presso il negozio B. Ne consegue che dovendo acquistare un numero di bottiglie superiore a 9 otterremo un risparmio recandoci presso il negozio B. Al contrario, accontentandosi di un numero inferiore, si spenderà di meno acquistando da A.

Implementazione in Excel

Trasferire le formule in uno spreadsheet è la cosa più semplice del mondo: se non ricordate come si fa, vi invitiamo a rileggere le lezioni precedenti. Stavolta, però, utilizzeremo una facilitazione straordinaria offerta da Excel, vale a dire la possibilità di assegnare nomi alle celle.

Torniamo alla figura 1, consideriamo la formula risolutiva indicata nel paragrafo precedente – cioè n = Cb / (Pa – Pb) – e supponiamo, appunto, di volerla implementare nella cella B9; alla fine risulterebbe…

= B7 / ( B3 – B5)

…che è ovviamente corretta, ma contiene riferimenti alle celle (B7, B3, B5) poco illuminanti sul loro reale significato.

Sarebbe molto più comodo se, nella cella B9, fosse leggibile una formula del tipo…

= CostoFisso / (Costo_A – Costo_B)

…in cui, cioè, i termini in gioco assumono un chiaro significato auto-esplicativo.

La buona notizia è che tutto ciò si può realizzare facilmente con Excel!

Riproducete lo schema di calcolo esattamente come indicato in figura 1; evidenziate la cella B3 (ove è presente il valore numerico 3,5) e cliccate sul menu Inserisci/Nome. Compare la finestra di dialogo "Definisci nome" che conterrà, per default, l'eventuale stringa di caratteri presente nella cella a sinistra (se questa è vuota, verrà considerato il contenuto della cella sovrastante).

Figura 2

Nel caso specifico, la cella a sinistra di B3 è A3, che contiene "Prezzo unitario A" ed è appunto questo il nome che verrà automaticamente assegnato da Excel. Ovviamente, vedi figura 2, è possibile modificarlo a piacere.

Se esaminate nuovamente la figura 1, noterete che la formula riquadrata in rosso è decisamente più chiara, soprattutto quando lo spreadsheet verrà esaminato fra molto tempo.

Creazione del diagramma

Vedremo ora di convertire in un diagramma quanto appreso finora. Per far questo riferiamoci alla figura 3, che in realtà si riferisce al caso più generale: come si può notare, sono infatti presenti due (eventuali) costi fissi, ciascuno relativo al corrispondente prezzo unitario: nel caso in cui uno dei due costi fissi sia nullo, come nel caso della figura 1, basterà digitare 0 (zero) nella cella corrispondente.

Figura 3

Il problema prima esaminato si modifica quindi nel modo seguente:

Problema: quante bottiglie dobbiamo comprare affinché la spesa risulti identica acquistando, indifferentemente, il medesimo numero di bottiglie presso il supermercato A oppure quello B, entrambi raggiungibili usando l'automobile?

Il problema, anche in questo caso, è valido solo se per raggiungere il negozio A (che vende il vino a prezzo inferiore) occorre sostenere un costo fisso maggiore rispetto al negozio B (che vende però il vino a un prezzo unitario superiore).

Non ci soffermiamo sulla formula finale, del resto chiaramente visibile nella stessa figura 3; diremo solo che alle celle B3, B4, B6, B7, B9 sono stati assegnati, rispettivamente, i "nomi" Pa, Ca, Pb, Cb, n.

Figura 4

Ciò che importa è descrivere la "costruzione" – forse un po' macchinosa, è vero – della tabella contenuta nelle celle da D1 a F21 (vedi formule nella figura 4), che qui commentiamo:

Il numero di righe (19) è stato scelto dopo aver individuato il valore del BEP relativo al problema specifico (11, vedi cella B9); il numero di 19 righe è stato scelto in quanto "abbastanza" maggiore di 11. Dopo aver creato le semplici formule presenti nelle celle E3 ed F3 (figura 4), queste sono state replicate trascinando (vedi lezioni precedenti) fino alla riga 21 i relativi quadratini neri presenti in basso a destra delle stesse celle E3 ed F3. Dopo tale operazione occorre individuare le celle adiacenti che contengono un valore uguale e che rappresenta quindi la spesa totale da sostenere per procurarsi il numero di bottiglie determinato dal BEP. Nel caso specifico, tali celle sono E13 ed F13, riquadrate nella figura 3: l'acquisto di una quantità di bottiglie inferiore al contenuto della cella B9 (cioè 11) converrà effettuarlo presso il negozio A; presso il negozio B ci recheremo se la quantità desiderata è superiore a 11.

Creazione del grafico

I grafici relativi al BEP sono costituiti da due semirette che si incrociano in un punto (figura 5). Per evitare di ripetere argomenti già noti (vedi lezioni precedenti) evidenziate l'area dello spreadsheet compreso tra E3 ed F21, quindi cliccate sul menu Inserisci/Grafico. Dalla scheda Tipi Standard scegliete il diagramma di tipo Linee e proseguite personalizzando a piacere gli elementi del diagramma (nome, colori, etichette e così via). Alla fine otterrete il grafico di figura 5, in cui sono evidenziate le due semirette in blu (negozio A) e rosa (negozio B), che si intersecano in corrispondenza del valore 11, cioè il sospirato Break Even Point. La situazione più vantaggiosa è sempre rappresentata dalla semiretta posizionata più in basso possibile: ciò significa che a sinistra di 11 è più conveniente la semiretta blu (negozio A) mentre a destra quella rosa, che corrisponde al negozio B.

Figura 5

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